Définition

On appel le graph d'une relation, noté \(R\) est un ensemble de tuples d'éléments de d'un ensemble \(E\). On dit que deux éléments de \(E\) sont en relations si \(R\) contient un tuple de ces deux éléments. On le note alors \(x \mathcal{R} y\).

Une relation peut avoir plusieurs propriétés :

• Réflexivité : \(x \mathcal{R} x\)
• Symétrie : \(x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x\)
• Transitivité : \(x \mathcal{R} y, y \mathcal{R} z \Rightarrow x \mathcal{R} z\)
• Antisymétrie : \(x \mathcal{R} y, y \mathcal{R} x \Rightarrow x = y\)

Relation d'équivalence

Une relation (\(\mathcal{R}\)) est dite d'équivalence si elle est a la fois réflexive, symétrique et transitive. Pour une telle relation, on défini pour chaque élément de \(E\) une classe d'équivalence, noté \(\mathcal{C}(x) = \dot x = \{y \in E, y \mathcal{R} x \}\).
Les classes d'équivalences forment une partition de \(E\). L'ensemble des classes d'équivalences s'appelle l'ensemble quotient de \(E\) par \(\mathcal{R}\) noté \(E / \mathcal{R}\).

Relation d'ordre

Cela se rapproche de la majoration pour les Fonctions de la variable réelle.

Une relation (\(\mathcal{R}\)) est dite d'ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. Un ensemble muni d'une telle relation est dit ordonné. Les exemples les plus communs sont \(\le\) et \(\ge\).
Soit A une partie de E non vide, on dit que \(a\) est:

• un majorant : \(\forall x \in A, \quad x \le a\)
• un minorant : \(\forall x \in A, \quad x \ge a\)

De plus, \(a\) est un extremum si \(a \in A\). On le note alors \(max(A)\) (resp. \(min(A)\)).
Si \(A\) est admet un minorant et un majorant, on dit que \(A\) est bornée.